une métamorphose d'état est un opérateur de transition d'état entre deux état d'un nœud.

pour illustrer de manière simple notre propos nous dessinons un état d'un nœud ne recelant qu'un seul motif de métamorphose de métamorphose d'état, un retournement de coin, vu sur le graphe comme coin retournable face kf.

la parure p' déterminée sur le graphe, nous écrivons à côté la table d'état d'un nœud qui représente l'équation d'état que nous déployons, en faisant apparaître les deux tournure t et t' en indices des parenthèses :
η=(3ωp+3ωˊp′)t+(3ωˊp+2ωp′)t′\eta = (3\omega p + 3\acute{\omega}p^{\prime})t + (3\acute{\omega}p + 2\omega p^{\prime})t^{\prime}
et pour laquelleΔT=∣6t−5t′∣=1\Delta T = |6t - 5t^{\prime}| = 1.

l'équation du motif de métamorphose, lisible sur le graphe, estkf=ωˊp+(ωp′+ωˊp′)k_f = \acute{\omega}p + (\omega p^{\prime} + \acute{\omega}p^{\prime})

, nous écrivons l' épingle retournante entre parenthèses en italique (nous omettons les tournure).

nous savons que l'état d'un nœud est la somme topologique de son motif de métamorphose de métamorphose d'état m et du bâti bm qui lui est spécifique;

nous pouvons donc écrire l'équation d'{{etat}} en faisant apparaître ses deux composantes nœudiennes, lisibles sur le graphe :

η=[b]+[m]=[3ωp+2ωˊp+ωp′+2ωˊp′]+[ωˊp+(ωp′+ωˊp′)]\eta = [b] + [m] = [3\omega p + 2\acute{\omega}p + \omega p^{\prime} + 2\acute{\omega}p^{\prime}] + [\acute{\omega}p + (\omega p^{\prime} + \acute{\omega}p^{\prime})].

soit la table (dessin).

à ce stade, développons la procédure (voir la ligne de dessins ci-après) :

  1. du graphe orné paré de l'état d'un nœud, nous "décrochons" le motif de métamorphose kf, en forme de Δ, de son bâti. l'équation de l'état d'un nœud se scinde donc en deux équations partielles provisoires, celle du bâti qui reste invariante pour la métamorphose d'état, et celle du motif de métamorphose de métamorphose d'état qui sera retournée.
  2. nous effectuons la métamorphose d'état, le retournement, du motif de métamorphose qui de Δ, kf, devient Υ, ks.
  3. nous "recollons" le motif de métamorphose obtenu, ks, Υ, au bâti et obtenons le nouveau graphe orné paré du nouvel état d'un nœud.

le bilan de la transition d'état s'écrit ainsi : état d'un nœud initial moins le motif de métamorphose métamorphosable plus le motif de métamorphose métamorphosé égale l'état d'un nœud final. nous appelons différentiel de la transition d'état ce qui est écrit en italique dans le bilan et nous notons
δ−kf,ks=−kf+ks\delta_{-k_f,k_s} = -k_f + k_sou, indifféremmentcomme écrit dans le dessin sous l'accolade,
ks−kf=δ+ks,kfk_s - k_f = \delta_{+k_s,k_f}. . soit finalement :
ηfinal=ηinitial−kf+ks=ηinitial+δ−kf,ks\eta_{final} = \eta_{initial} - k_f + k_s = \eta_{initial} + \delta_{-k_f,k_s}.

l'équation du nouvel état d'un nœud est facile à établir puisqu'il suffit de substituer, sans toucher au reste, le bâti, l'équation du motif de métamorphose métamorphosé à celle du motif de métamorphose métamorphosable dans l'équation de l'état d'un nœud initial pour obtenir celle de l'état d'un nœud final, soit de

ηinitial=[3ωp+2ωˊp+ωp′+2ωˊp′]+[ωˊp+(ωp′+ωˊp′)]\eta_{initial} = [3\omega p + 2\acute{\omega}p + \omega p^{\prime} + 2\acute{\omega}p^{\prime}] + [\acute{\omega}p + (\omega p^{\prime} + \acute{\omega}p^{\prime})]

nous "décousons"[ωˊp+(ωp′′+ωˊp′)]=kf[\acute{\omega}p + (\omega p^{\prime\prime} + \acute{\omega}p^{\prime})] = k_f

et "recousons" à la place son retournéks=[ωp+ωˊp+ωp′]k_s = [\omega p + \acute{\omega}p + \omega p^{\prime}]

que nous réécrivons, sans conséquence, seulement pour faire réapparaître l' épingle retournante,[(ωp+ωˊp)+ωp′][(\omega p + \acute{\omega}p) + \omega p^{\prime}]

— pour obtenir
ηfinal=[3ωp+2ωˊp+ωp′+2ωˊp′]+[(ωp+ωˊp)+ωp′]\eta_{final} = [3\omega p + 2\acute{\omega}p + \omega p^{\prime} + 2\acute{\omega}p^{\prime}] + [(\omega p + \acute{\omega}p) + \omega p^{\prime}], , soit, et en tenant compte des tournure :
ηfinal=(4ωp+2ωˊp′)t+(3ωˊp+2ωp′)t′\eta_{final} = (4\omega p + 2\acute{\omega}p^{\prime})t + (3\acute{\omega}p + 2\omega p^{\prime})t^{\prime}, avecΔT=∣6t−5t′∣=1\Delta T = |6t - 5t^{\prime}| = 1.

. cette métamorphose d'état fait donc passer la partitionque nous écrivons dans l'ordrea11a12a21a22xij=3323{a_{11}a_{12}a_{21}a_{22}} x_{ij} = {3323}de l'entier 11 àxij′=4322x'_{ij} = {4322}. . la transition d'état étant, comme nous le savons déjà, inversible.

observons deux faits importants :

  • - lorsque nous séparons le motif de métamorphose de son bâti nous scindons la parure en cet endroit, pour la recoller, après métamorphose d'état, au même endroit;
  • - seules les transformations de paramètres dues à la transition d'état interviennent dans l'équation finale.

    • on ajoutera à cela le fait que le retournement, qui produit donc une perturbation locale, apparaît comme une double inversion de l'équation du motif de métamorphose de métamorphose d'état. les parure commutent entre elles ainsi que les ornure; cela s'exprime ainsi sur les coefficients : a11 devient a22 et réciproquement, a12 devient a21 et réciproquement.

    dans la table (dessins), les deux lignes commutent ainsi que les deux colonnes. de même à un motif de métamorphose retournable "face" correspond un motif de métamorphose "sommet" et réciproquement.
    on peut exprimer cela de façon plus générale : dans un retournement, les paramètres (ornure, parure et tournure) du bâti restent invariants, pendant que les croisement du motif de métamorphose commutent leurs {{ornures}} et leurs {{parures}}, et donc leur tournure restant invariante, le recollement raboutant les éléments correspondants des {{parures}} du bâti et du nouveau motif de métamorphose.

    transition d'état virtuelles à partir d'un état d'un nœud

    effectuons le retournement d'une agrafe retournable sommet. à partir de la table, nous lisons l'équation de l'état d'un nœud soit :
    η=(2ωp+4ωˊp′)t+5ωp′t′\eta = (2\omega p + 4\acute{\omega}p^{\prime})t + 5\omega p^{\prime}t^{\prime}; l'équation de l'agrafe est
    as=2ωpt+(ωp′t′+ωˊp′t)a_s = 2\omega pt + (\omega p^{\prime}t^{\prime} + \acute{\omega}p^{\prime}t)et par conséquent l'équation du bâti est
    b(as)=η−as=4ωp′t′+3ωˊp′tb(a_s) = \eta - a_s = 4\omega p^{\prime}t^{\prime} + 3\acute{\omega}p^{\prime}t.

    cela étant, nous effectuons la procédure :

    1. – nous "décousons" l'agrafe du bâti,
    2. – nous retournons le motif de métamorphose qui, de "sommet" devient "face" et...
    3. – nous "recousons" le nouveau motif de métamorphose au bâti. lorsque nous effectuons le retournement de l'agrafe sur l'état d'un nœud, nous ne remarquons rien de spécial. tout se passe "normalement". c'est sur le graphe qu'il apparaît quelque chose que les équations d'état d'un nœud révèlent : les dessins et leurs écritures en termes d'équations d'{{etats}} ne sont plus conformes. que s'est-il passé? observons les ornure et les parure de l'agrafe retournable, leurs retournées sont
    (ωpt+ωˊpt′)+2ωˊp′t(\omega pt + \acute{\omega}pt^{\prime}) + 2\acute{\omega}p^{\prime}t. c'est ce que nous devrions observer sur l'état d'un nœud final, mais ce qui est patent est l'équation :
    af=ωp′t′+3ωˊp′ta_f = \omega p^{\prime}t^{\prime} + 3\acute{\omega}p^{\prime}t!

    ! c'est ce genre de transition d'état que nous appelons virtuelle. démontage du processus. (dessins)