présentation en tresse
un {{etat}} peut se présenter selon une bi-orientation, c'est-à-dire qu'en parcourant le brin celui-ci change : tantôt "à gauche" tantôt "à droite" (évidemment le parcours en sens inverse inverse les orientations), nous ne retenons que leur opposition.état nœudienpour certains de ces {{etats}}, il est possible, par changements de présentations successifs, de les uni-orienter..
une fois cela fait, nous plaçons le "centre" de cet état duquel nous tirons des rayons qui séparent chaque croisement de ses voisins. les rayons séparent donc l'état en autant de zones qu'il y a de croisements . étant le nombre de croisements de l'état, chaque zone vaut donc , dans notre exemple . chaque rayon traverse le même nombre de "couches" (portions de brins), dans notre exemple 4. ces couches qui "feuillètent" l'état représenteront le nombre des brins de la tresse issue de cet état.
périple dans l'état, numérotation des croisements et des secteurs
à partir d'un croisement quelconque, nous effectuons un trajet dans l'état en suivant le brin jusqu'à revenir au croisement de départ, à la position initiale. nous numérotons les croisements au fur et à mesure de leur rencontre on ne renumérote pas les croisements déjà rencontrés, dans notre exemple de 1 à 11, avec la convention suivante : le numéro est primé si le brin est rencontré par dessous. nous obtenons ainsi le mot d'état , ou mot code ou mot-code, circulaire, de longueur , de l'état : 1 2' 3 4 5' 6 7' 8 4' 9 10 1' 11 3' 9' 5 8' 11' 2 10' 6' 7. à chaque croisement numéroté correspond un secteur de notre état sectorisé, auquel nous attribuons le même numéro que son croisement
nous coupons l'état selon un des rayons, ici le séparateur des zones 6 et 7 et nous déployons la "liasse" obtenue en la tresse correspondante, soit dans notre exemple la permutation circulaire .
parures sur l'état, parures sur la tresse
revenons à l'état tressable centré ci-dessus. les croisements se répartissent du centre à la périphérie, ou inversement, sur trois disques de centration, que nous appelons parure de l'état. il y a deux parures, , rouge, et , bleue, dont l'une en deux tenants, arbitrairement , répartie sur les disques 1 au centre, croisements , et 3 à la périphérie, croisements et , disque médian, croisements . cette centration est conforme aux différentes méthodes que nous avons déjà rencontrées pour repérer la parure. (voir #déterminer la tournure de l'amas).
il est alors loisible de coder la tresse afin d'en obtenir une surface seifertisée : la tresse comporte 4 couches formées par ses 4 brins et 11 croisements. nous notons un croisement signifiant que le brin passe dessus le brin . à partir du premier croisement le plus à gauche, soit , et nous dirigeant vers la droite, nous lisons les croisements en déplaçant un curseur imaginaire qui balaie toute la tresse; nous obtenons alors la suite qui traduit les croisements de l'état selon le dictionnaire suivant : . à ce stade, nous nous désintéressons de l'état et de ses croisements numérotés pour ne nous intéresser qu'à la tresse dont nous reprenons la liste que nous renumérotons simplement 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. assignons une ornure au premier croisement 1, alors toutes les autres ornures sont fixées et notre suite devient : . projetons sur la tresse les disques de parures; ceux-ci se déploient de la façon suivante : la parure , qui est en deux tenants, pare les croisements renumérotés 2 3 5 7 9 10 et la parure pare les autres 1 4 6 8 11. nous savons que + ornure = parure, donc sont de tournure tournure les croisements et , c'est-à-dire , et de tournure tournure, c'est-à-dire . nous codons maintenant ainsi la suite des croisements : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 qu'un logiciel adéquat, genre seifertview, traduira en surface seifertisée. pour les besoins du logiciel, nous traduisons notre codage dans leur protocole : les chiffres en gras — soit de tournure — deviennent des lettres MAJUSCULES, les autres — soit de tournure — minuscules; la tresse contient trois "niveaux" de codage, [a], [b] et [c] correspondant aux trois "niveaux" (les disques) de parures : la parure inférieure est [a] et supérieure [c], et la parure médiane est [b]. traduisons notre liste : 1 = b, 2 = C, 3 = a, 4 = b, 5 = C, 6 = B, 7 = a, 8 = B, 9 = C, 10 = a, 11 = b; de là, notre (nouveau) codage devient b C a b C B a B C a b; c'est ce "mot" que l'algorithme, redonnant notre tresse, traduira en surface seifertisée.
remarque : comme on peut s'en apercevoir, notre codage n'utilise toujours pas le codage paresseux des mathématiciens des nœuds — que nos paramètres incluent, l'inverse n'est pas vrai —, même si les logiciels seifert y sont adonnés, ne connaissant pas le paramétrage nœudien. pour le plaisir, nous donnons ci-après trois interprétations de la tresse, obtenues à partir du logiciel "seifert-view".
commentaires : à gauche la surface, au centre les plateaux sont gonflés en "boules" et à droite en mailles. cette surface comporte 4 "plateaux", ou "boules", soit un(e) de plus que de lettres différentes. entre deux plateaux il y a autant de bandes qu'il y a de croisements de mêmes niveaux, [A] est le plateau rez de chaussée, [B, b] le 1er étage et [c] le second.


