dessiner des amas

un exemple ; le nœud $8_{20}$

nous dessinons l'amas à partir de l'un quelconque de ses états car chaque état recèle un ou plusieurs motifs de métamorphose et tous sont le "germe" de l'amas.

tous les états de l'amas ont même nombre de croisements, huit, et tous ont des arcs de portée maximum $p_m = 2$, conformément à la formule $8 \ge 5 \cdot 2 - 1 - 1$. exercice: vérifiez qu'en inversant un croisement, Dessus dessous, d'un quelconque état de l'amas ci-dessous, et obtenant ainsi un arc de $\text{portée}_3$, l'état devient réductible . la formule nous indique qu'il ne peut exister de nœud premier à un rond et 8 croisements acceptant un arc de portée $> 2$; par exemple, $8 \ge 5 \cdot 3 - 1 - 1$ est faux, etc..

les motifs de métamorphoses sont désignés par des signes placés dans leurs zones actives afin de rappeler les états du même signe qu'elles génèrent. l'état $\Omega$ est le seul état possédant deux motifs et ne donnant qu'une seule métamorphose. c'est-à-dire que l'effectuation des deux métamorphoses donne deux résultats indiscernables, l'état ∑ – exercice : essayez
les états ♣ et ♥ sont chacun autométamorphosables, c'est-à-dire qu'un de leur motif redonne l'état; nous disons qu'il "rate"; à ce propos il est juste de remarquer qu'effectuer une métamorphose qui "rate" ou ne rien faire ce n'est pas la même chose!
quelconque état de l'amas ci-dessous, et obtenant ainsi un arc de $\text{portée}_3$, l'état devient réductible .
la formule nous indique qu'il ne peut exister de nœud premier à un rond et 8 croisements acceptant un arc de portée $> 2$; par exemple, $8 \ge 5 \cdot 3 - 1 - 1$ est faux, etc..
les motifs de métamorphoses sont désignés par des signes placés dans leurs zones actives afin de rappeler les états du même signe qu'elles génèrent.
l'état $\Omega$ est le seul état possédant deux motifs et ne donnant qu'une seule métamorphose c'est-à-dire que l'effectuation des deux métamorphoses donne deux résultats indiscernables, l'état ∑ - exercice : essayez ; les états ♣ et ♥ sont chacun autométamorphosables, c'est-à-dire qu'un de leur motif redonne l'état; nous disons qu'il "rate"; à ce propos il est juste de remarquer qu'effectuer une métamorphose qui "rate" ou ne rien faire ce n'est pas la même chose!
l'état $\Sigma$ est l'intermédiaire obligé entre $\Omega$ et le reste de l'amas.
aucun état n'est le dual d'aucun autre, ils sont donc tous parfaitement distincts, ce qui est d'ailleurs la définition du changement d'état.

chemins dans l'amas, histoires

il n'y a pas de chemin -c'est-à-dire une suite d'états consécutifs- des métamorphoses privilégié pour parcourir l'amas, en voici un, par exemple, qui passe par toutes les flèches et tous les états; il comporte 14 états donc 13 métamorphoses : $\Omega \to \Sigma \to \Pi \to \Phi \to \heartsuit \to \heartsuit \to \Sigma \to \clubsuit \to \clubsuit \to \heartsuit \to \beta \to \Psi \to \Sigma \to \Omega$.
on peut imaginer que chaque métamorphose s'effectue à la plus grande vitesse possible, soit celle de la lumière, sur la plus petite longueur envisageable, soit la longueur de planck, etc.
le chemin ci-dessus, partant de $\Omega$ et y retournant, mettrait donc 13 temps de planck pour s'effectuer, soit $13 \times 5,391 \cdot 10^{-44}s \approx 7 \cdot 10^{-43}s$. il est donc loisible de rechercher, pour chacun des états par exemple, le plus court chemin dans l'amas partant de l'état et y revenant en ayant parcouru tout l'amas, c'est-à-dire être passé par tous les autres états.

amas du $8_{20}$ pour illustrer la notion de portance vue plus haut, nous donnons dans l'ordre lexicographique les portances des huit états de l'amas :
$\Omega = 01011122$
$\Sigma = 01020122$
$\heartsuit = 01020212$
$\Psi = 01021022$
$\beta = * 01021102$
$\clubsuit = * 01021112$
$\Phi = 01112102$
les astérisques indiquent les états pour lesquels l'écriture de la portance connaît deux arcs de portée 0 de départ, c'est-à-dire produisant deux mots portance identiques, les mots étant circulaires; par exemple, la portance de ♣ peut se lire du premier 0 de la gauche vers la droite, et du second 0 de la droite vers la gauche circulairement.
écrivons pour chacun de ces états leur polynôme de portance $\dot{p}^2$ (nous sous-entendons l'exposant 2 du premier coefficient et omettons le coefficient des arcs "0" - voir plus haut #portance) :
$\dot{p}^2 \{ \Omega, \clubsuit, \beta, \Pi, \Phi \} = 24$ et $\dot{p}^2 \{ \Sigma, \heartsuit, \Psi \} = 32$.
une relation qualitative simple existe entre le nombre d'arcs de portée la plus grande et la "flexibilité" de l'état : plus ce nombre est élevé, plus le potentiel de métamorphoses de l'état est important, comme on peut le remarquer dans l'amas ci-dessus pour les états ∑ et ♥ qui sont les deux états qui offrent le plus de motifs de métamorphoses.

ampleurs des états — voir plus haut #portance — (nous ne donnons le développement que pour $\Omega$) :
$\Omega = 64 + 16 + 8 + 4 + 4 + 2 = 98$, ∑ = 106, ♥ = 108, $\Psi$ = 110, ♣ = 124, $\beta$ = 126 et ∏ = $\Phi$ = 134.
d'autre part, l'amas se comporte comme une variété pour laquelle, vu la singularité $\Omega$, l'état ∑ joue un rôle particulier : si on le retire, l'amas est coupé en deux tronçons, $\Omega$ d'une part et le reste sans ∑ d'autre part. dans ce sous ensemble, un seul chemin complet minimal est possible (dans un sens ou dans l'autre) : $\Psi \beta \heartsuit \clubsuit \heartsuit \Phi \Pi$. c'est ensuite au tour de ♥ de jouer ce rôle, etc.

les noeuds à un rond et huit croisements sont au nombre de vingt et un dont dix-huit triviaux (alternés) et trois non alternés (métamorphosables donc). il est intéressant de comparer les amas de la nuée du même nœud et des autres nœuds dont nos dessins donnent l'un.