initiation à la plastique nœudiennetournure

tournure, une lecture de/dans l'état

les deux brins d'un autocroisement sont du même rond, tandis que ceux d'un intercroisements sont de deux ronds distincts.

autocroisements

une extrémité d'un brin d'un autocroisement se raboute à une extrémité de l'autre brin. en simplifiant le périple du rond entre ces deux extrémités, nous associons à chaque autocroisement l'une des deux bouclettes suivantes : dessin
ces deux bouclettes ne sont pas superposables par glissement sur le plan. deux autocroisements qui correspondent à la même bouclette ont la même tournure, et des tournures opposées dans le cas contraire.

considérons un état d'un nœud d'un nœud à un seul rond, ne comportant donc que des autocroisements, et dessinons à côté de chaque croisement la bouclette correspondante. remplaçons (arbitrairement) les bouclettes par les lettres t et t'.
peu importe que nous attribuions la tournure t ou t' à un premier croisement choisi arbitrairement, seules l'opposition et l'identité des tournures de chaque croisement relativement à chaque autre sont significatives.

1ère observation : des autocroisements qui constituent une torsade multiple alternée, soit une suite de lunules, ont la même tournure.
2 ème observation : si la lunule est non alternée, les autocroisements ont des tournures opposées.

à partir de ces deux observations, reprenons l'état d'un nœud du nœud ci-dessus sur lequel nous avons apposé les tournures par le truchement des bouclettes remplacées par des lettres. nous mettons en évidence les lunules qui constituent la lecture lunulaire des tournures. dessins. en attribuant la tournure t à un croisement quelconque, nous déterminons la tournure de chacun des autres croisements par lecture lunulaire. dessins. que d'autres brins traversent ces lunules ne change rien à la lunule qui lie ces autocroisements. dessins. la tournure de l'état d'un nœud du nœud est le couple des nombres de croisements répartis selon les deux tournures : $T = (x, y)$, que nous pouvons écrire : $T = xt + yt$ si nous avions attribué la tournure t' au même croisement quelconque, les termes de la tournure T de l'état d'un nœud seraient inversés, mais les rapports (notamment la valeur absolue de leur différence), resteraient inchangés.

intercroisements

chaque brin d'un intercroisement se raboute à lui-même.
les intercroisements vont toujours par paire : le raboutage des brins d'un intercroisement suppose l'existence d'un autre intercroisement, le plus simple est le simple écart de tournure à deux ronds et deux croisements. pour lire la tournure des intercroisements de deux ronds, p et q, nous les transformons, par homotonie, en ajoutant un croisement. il suffit de remplacer l'un des intercroisements par une lunule de même ornure. il y a deux manières de le faire. selon que l'axe de la lunule correspond à l'une ou à l'autre des diagonales du poinçon. de l'une à l'autre la tournure s'impose.

mais par chacune nous retrouvons les mêmes oppositions et identités de tournures entre les croisements. en comptant pour +1 le croisement ajouté homotoniquement artifice par lequel nous lisons la tournure, nous avons en un cas $T_{pq} = (x + 1, y)$ , en l'autre $T_{pq} = (x, y + 1)$ pour un état d'un nœud d'un nœud à deux ronds ne comportant que des intercroisements, il est indifférent d'écrire la tournure comme $T_{pq}$ ou $T_{pq}$ puisque chacune se lit comme symétrie de l'autre.

par contre, s'il existe aussi des autocroisements, nous devons déterminer par le truchement des bouclettes la tournure d'au moins un autocroisement par rond.

en traduisant les bouclettes par des lettres dont nous apposons une arbitrairement auprès d'un premier autocroisement quelconque, nous avons lié chaque bouclette à une lettre. dans ce cas, nous devons respecter cette liaison dans l'écriture/lecture pour tous les croisements. puis nous procédons par bouclettes ou lunules pour les autres autocroisements.

nous déterminons ainsi la tournure $T_a$ de la collection des autocroisements de tous les ronds d'un état d'un nœud. ensuite nous ajoutons, selon le protocole homotonique ci-dessus, un croisement pour lire la tournure de la collection des intercroisements, $T_{pq}$ ou $T_{pq}$.
cette transformation des intercroisements n'a pas d'effet sur la tournure des autocroisements d'origine. il y a deux lectures de la tournure des intercroisements et une seule de celle des autocroisements. en additionnant celle-ci et une des tournures d'intercroisements, nous obtenons une tournure de l'état d'un nœud. comme il y a deux tournures d'intercroisements possibles, il y a donc deux tournures de l'état d'un nœud :
$T_1 = T_a + T_{pq}$ et $T_2 = T_a + T_{pq}$

lecture-écriture de la tournure sur l'état d'un nœud : tournures corrélées des croisements

à partir de l'attribution, arbitraire, d'une tournure à un croisement d'un état nœudien peut se lire, par expansion successive, la tournure des autres croisements et par suite, de la tournure de l'état d'un nœud. on utilise, pour cela la lecture lunulaire qui s'effectue ainsi :

1. nous repérons un lunule direct ou indirect dans l'état d'un nœud, et
2. lorsque la lunule repérée est enlacée, les deux croisements sont alternés ceci entraîne que leurs tournures sont identiques; soit t, soit t' . lorsque la lunule est non alternée ceci entraîne que ses croisements ont une tournure opposée, l'un t l'autre t' .
3. puis lunule après lunule, nous attribuons une tournure à chaque croisement. évidemment les TERM.T3S à plus de deux croisements alternées ont même tournure.