dessiner des amaséquation d'état

graphes ornés parés, équation d'état

lorsqu'on a ornement et parement tous les croisement de l'état d'un nœud, chaque croisement se trouve ainsi doté de deux valeurs; une d' ornure, $\omega \oplus \acute{\omega}$ de famille $\Omega = \{ \omega, \acute{\omega} \}$, et une de parure , $s$ ou $s'$ de famille $S = \{ s, s' \}$ . la composition de ces valeurs détermine deux (et non pas quatre!) valeurs de la tournure des croisement :
$t = \omega s = \acute{\omega} s'$, et $t' = \omega s' = \acute{\omega} s$.
ces valeurs étant corrélées, nous pouvons écrire ces trois paramètres fondamentaux de l'état d'un nœud en les accolant :
$t \omega s = t \acute{\omega} s'$ et $t' \omega s' = t' \acute{\omega} s$.
on pourra donc écrire de façon équivalente :
$\omega = ts = t's'$ et $\acute{\omega} = t's = ts'$ , ainsi que $s = t \omega = t' \acute{\omega}$ et $s' = t' \omega = t \acute{\omega}$.
a- on remarquera que lorsque deux valeurs sont primées différemment elles sont égales à une valeur primée, inversement, lorsque deux valeurs sont primées identiquement elles sont égales à une valeur non primée;
b- on observera de plus, que lorsqu'un seulement des paramètres $\Omega$ ou $S$ change la tournure change, lorsque ces deux paramètres changent simultanément la tournure reste inchangée

on peut reporter toutes ces informations sur la paire de graphe dual. à partir de ce § nous ne travaillerons que sur un seul graphe de la paire puisque la dualité joue le rôle de "reflet" et que toute pratique de l'un est strictement identique à l'autre.

parure sur le graphe.

nous présentons notre propos sur les dessins de l'amas du 8₂₁ nous dessinons la {{parure}} faufilante p' sur le graphe qui traverse, en vert, les arête d'un graphe du graphe (l'autre {{parure}} la sinuante p suit, en rouge, les arête d'un graphe du graphe). les arête d'un graphe du graphe ainsi paramétrées permettent de déterminer un invariant d'amas : différence de tournure $\Delta T$.
nous construisons une table d'état 2 x 2. les deux lignes reçoivent la parure p, ligne supérieure et p', ligne inférieure. les deux colonnes reçoivent l'ornure $\omega$, colonne de gauche, et $\acute{\omega}$, colonne de droite.

cette table ainsi servie est la table d'état de l'état d'un nœud.

nous notons $a_{ij}$, i et j = 1,2 les éléments de la table, "i" pour les lignes et "j" pour les colonnes. alors $a_{1j}$ sont de parure p et $a_{2j}$ de parure p'; $a_{i1}$ sont d'ornure $\omega$ et $a_{i2}$ d'ornure $\acute{\omega}$.
nous avons vu précédemment les combinaisons qui donnaient les deux tournure t et t'. dans la table, la {{tournure}} t est la somme des éléments de la diagonale $T = \sum a_{ij}$ avec i = j; l'autre diagonale donne la tournure t', soit $T' = \sum a_{ij}$ avec i ≠ j; avec, C étant le nombre des croisement de l'état d'un nœud, m et n des coefficients entiers : m + n = C. l'invariant $\Delta T$ correspond à la valeur absolue de la différence des diagonales : $\Delta T = |T - T'|$. la valeur absolue provient du fait que l'attribution d'un paramètre est arbitraire. par exemple, on peut vérifier sur le dessin des état d'un nœud ci-dessus que $T = 6$ et $T' = 2$, donc $\Delta T = 4$.
tous les état d'un nœud du même amas auront même différence de tournure. (exercice : dessinez l'amas correspondant et vérifiez l'invariant).

remarque -- seule la différence de tournure est un invariant : la parure et l'ornure changent à chaque métamorphose d'état mais leurs combinaisons donnant la tournure ne changent pas. la parure se dessine dès l'ombre; elle organise les croisement, à ce stade points doubles sans dessus-dessous, en cycles orientés, les deux parure étant d'orientations opposées. l'ornure est la lecture des dessus-dessous. leur conjugaison donne le spin de l'amas, équivalent pour tous les état d'un nœud de l'amas, et représente le double des tours que peut faire un rond autour d'un autre ou sur lui-même. $\Delta T = 2\theta$. par exemple pour les état d'un nœud du 821 ci-dessus nous avons $\Delta T = 4$ donc $\theta = \Delta T/2 = 2$, ainsi pour l'enlacement simple à 2 rond et 2 croisement, nous avons $\Delta T = 2$ soit $\theta = \Delta T/2 = 2/2 = 1$; pour le trèfle à un rond et 3 croisement, $\Delta T = 3$ et $\theta = 3/2$, pour le listing à un rond et 4 croisement, $\Delta T = 0$ et $\theta = 0$, etc. nous appelons #équation d'état la formule : $\eta = \sum x_{ij}a_{ij}$, avec i, j = 1,2 et où les xij sont des entiers ≥ 0. deux état d'un nœud différents peuvent avoir une équation d'état différente ou non; deux état d'un nœud dont les coefficients xij sont différents, sont distincts.

table d’état d'un nœud, partitions d’un entier et “théorie du tout”

que $C = m_{ij} + n_{ij} = x_{ij}$ nous indique que la table d'état est une partition du nombre C. cette partition partage C en quatre sommants exprimés par les quatre $x_{ij}$ .
les {{noeuds}} sont, d’une certaine façon, des “représentants” des entiers, quoiqu’un peu spéciaux. au moins deux nombres apparaissent naturellement : le nombres de rond, de 1 à R, et le nombre de croisement, de 1 à C. en première approche, on peut donc écrire qu’un {{noeud}} est $\eta(R,C)$. les tableaux usuels de {{noeuds}} rangent les {{noeuds}} de cette façon. louis h. kauffman a déjà eu l’idée que les {{noeuds}} se comportaient comme des nombres et il écrivait que les {{noeuds}} obéissaient aux lois de la topologie comme les nombres aux lois de l’arithmétique. c’est si juste que ces lois peuvent même se rencontrer! nous organisons le nombre de {{croisements}} d’un {{etat}} en une table (qui n’est pas une “matrice” au sens du calcul matriciel. on pourrait, tout au plus, l’appeler une “presque matrice”, mais là n’est pas encore notre propos), que nous appelons équation d'état. cette table est carrée à quatre places, cela signifie que le nombre de {{croisements}} est un entier à quatre sommants, les coefficients $x_{ij}$ de notre équation. les partitions d’un entier en quatre sommants sont en nombres finis et il n’est pas trop pénible d’écrire la super-table de toutes les combinaisons possibles de quatre sommants pour un nombre fixé ni d’entrevoir la construction de la méga-table de toutes les super-tables de tous les entiers possibles qui représentent tous les nombres de croisement possibles de tous les nœud possibles.

c’est ce que nous appelons la théorie du tout pour autant que nous connaîtrons de plus en plus les caractéristiques fondamentales de l’univers qui nous apparaîtrons nouées et dont les nœud se vérifieront comme le glyphe ultime