dessiner des amasgraphes

un graphe est composé de sommets et d'arêtes. il délimite des faces.

les graphes des nœuds qu'utilise la plastique nœudienne sont des graphes dont tous les sommets sont à l'intersection d' au moins deux arêtes. pour cela nous les nommons graphes fermés. de plus, l'ensemble des graphes nœudiens commence au graphe à 2 sommets et 2 arêtes car il correspond au plus petit nœud à minimum d'arêtes.

un croisement dessine quatre quadrants.

• deux quadrants qui ont une portion de brin commune sont adjacents.
• deux quadrants non adjacents sont connexes.

sur l'exemple, a est adjacent à b et d ; et connexe à c.

un état d'un nœud parcellise en zones le plan sur lequel il est tracé. un croisement participe à quatre faces et chaque quadrant n'appartient qu'à une seule. deux quadrants adjacents appartiennent à deux faces qui seront dites adjacentes et de même, deux quadrants connexes appartiennent à deux faces dites connexes.

graphe d'adjacence

dans une face quelconque d'un état d'un nœud, nous commençons par placer un sommet puis, nous plaçons des sommets dans toutes les faces adjacentes à celle que nous venons de marquer. après quoi nous traçons entre chaque sommet une arête qui recoupe chaque portion de rond commune aux faces adjacentes. nous répétons la procédure jusqu'à ce que chaque portion de rond soit marquée une fois par une arête. comme on le voit, le graphe d'adjacence organise l'espace en cellules quadrangulaires, chaque cellule contenant un croisement.

graphe de connexité - graphe orné

dans une face quelconque d'un état d'un nœud, nous commençons par placer un sommet puis, nous plaçons des sommets dans toutes les faces connexes à celle que nous venons de marquer. après quoi nous traçons entre chaque sommet une arête qui recoupe chaque croisement commun aux faces connexes. nous répétons la procédure jusqu'à ce que chaque croisement soit marqué une fois par une arête.

ornement

deux croisements consécutifs alternés ont la même ornure. deux croisements consécutifs non-alternés ont des ornures opposées.

nous déterminons l'ornure de chacun des croisements d'un état en écrivant d'abord la lettre ω ou ώ (il n'y a pas, contrairement aux mathématiques de la théorie des nœuds, de standard d'attribution, voir plus loin #petite étude... . ) auprès de l'un d'eux choisi arbitrairement. puis, à chacun des croisements qui lui sont consécutifs, nous écrivons une lettre :
• si le croisement consécutif était précédemment orné ω alors ω s'il y a alternance, sinon ώ s'il y a non-alternance;
• si le croisement consécutif était précédemment orné ώ alors ώ s'il y a alternance, sinon ω s'il y a non-alternance.
l'ornure répartit ainsi les croisements d'un état en deux collections. nous appelons ornement cette assignation.

par construction, le graphe de connexité est donc une image univoque de l'état et contient en conséquence toutes les informations des croisements (voir plus loin #graphes ornés).
à ce stade, peu nous chaut que l'état soit dans l'ombre ou orné, le graphe étant dessiné dans l'ombre; par suite, un graphe orné uniformément ou sans marque des deux ornures est un graphe d'un état d'un nœud alterné.

reconstitution de l'état à partir du graphe de connexité

nous livrons une séquence qui permet de comprendre le processus "à l'envers" de reconstitution d'un état nœudien à partir de son graphe de connexité. (voir plus bas #graphes ornés).
nous partons du graphe de connexité orné à gauche et sur chacune de ses arêtes nous superposons un croisement qui se partage ainsi sur deux zones connexes du graphe et offre ainsi deux pattes par zone. lorsqu'il s'agit de deux arêtes en faisceau les deux croisements forment immédiatement une torsade double, une lunule (une ganse dans le cas de trois croisements en faisceau). puis dans chaque zone du graphe nous raboutons de la façon la plus naturelle les pattes entre elles : chaque patte se raboute à la patte immédiatement adjacente. nous pouvons ensuite extraire l'état obtenu et l'esthétiser. on remarque bien qu'ainsi il est très facile d'extraire un nœud trivial puisqu'il n'y a pas à se soucier de l'ornure.

pliage

lorsqu'on dessine un graphe, on peut le considérer comme un flexible, c'est-à-dire que les sommets, et avec eux les arêtes, sont articulables. il est donc loisible de considérer que chaque zone n'est ni intérieure ni extérieure. ainsi, chaque zone du graphe peut recevoir par pliage tout ou partie du graphe. chaque pliage correspond à une opération correspondante de l'état nœudien.
nous avons vu comment restituer, dessiner, l'état à partir du graphe (voir plus haut #graphes ornés) . l'état change donc de présentation mais ce changement de présentation n'a pas été obtenu comme expliqué au § #changement de présentation par un tour autour de la sphère (au moins pas directement). l'état est le même, mais il est vu différent. on peut considérer le graphe, l'état, comme un "rubicube", qui "roulerait" sur lui même par les glissements successifs des brins, mais les faces et les petits cubes du "rubicube" seraient remplacées par les brins et les zones de l'état.

chiffrage du graphe

suivi des métamorphoses à travers le cheminement des arêtes (chiffrées ou colorées, etc.) dans l'amas. chaque arête est dotée d'une couleur (chiffrage, etc.) qui permet de la suivre dans l'ensemble de l'amas au fur et à mesure des métamorphoses.

voir et dessiner un nœud premier

un graphe de connexité d'un nœud non premier peut être décomposé en deux sous-graphes de connexité par scission d'un seul de ses sommets.

l'exemple proposé (voir plus haut #normalisation, la séquence opératoire) est un nœud à sept croisements avec un arc de portée 2 et semble contredire la formule C ≥ 5×pm − R − 1" qui devient dans cet exemple 7 ≥ 5×2 - 1 - 1"; mais, ce n'est pas un nœud premier. lorsqu'on a affaire à un nœud non premier qui semble, comme notre exemple, contredire la formule, il est loisible, en effectuant les métamorphoses, de trouver l'état conforme à la formule (voir ci-dessus les dessins du § #normalisation). la formule répond donc bien encore à la somme de deux états premiers formant un nœud non premier une fois toutes les métamorphoses effectuées. c'est ce que nous appelons la normalisation d'un état non premier. la formule ayant indiqué des arcs trop longs nous invite à les réduire. néanmoins, la plastique nœudienne délaisse les nœuds non premiers, un peu comme l'arithmétique théorique qui s'intéresse de manière privilégiée aux nombres premiers comme ossature de la théorie des nombres

graphe dual - états duaux

1. deux états ayant même paire de graphes duaux ornés semblablement sont identiques.
2. deux états n'ayant pas même paire de graphes duaux, ou n'étant pas ornés semblablement sont différents.
3. chaque graphe de connexité reçoit dans ses zones les sommets du graphe dual.

lorsqu'on assemble les deux graphes duaux, deux arêtes qui se croisent représentent la même arête vue dualement. lorsqu'une arête est d'une ornure sur un graphe, la même arête est d'ornure opposée sur l'autre graphe.
les deux graphes de connexités forment une bipartition du graphe d'adjacence.

changement de présentation

un état peut se présenter de plusieurs façons même une infinité! mais comme nous ne sommes pas géomètres, nous ne retenons que les présentations "à fil tendu"). une sphère dessinée à toujours l'air d'un disque, on ne voit qu'un hémisphère. projetons-y le dessin d'un état. faisons ensuite glisser une portion de rond sur l'hémisphère caché jusqu'à ce qu'elle revienne sur l'hémisphère visible. nous obtenons ainsi deux présentations du même état qui ont la même paire duale de #graphes de connexité ornés et le même #graphe d'adjacence. de plus, le changement de présentation n'a aucune incidence sur la portance, contrairement aux métamorphoses et mutations.

graphes autoduaux

par le dessin de la bipartition, on constate que chaque élément de la paire de graphes de connexité est identique à son dual.

les états autoduaux sont à la "charnière" de certains amas et le partagent en deux "volets" duaux.
ci-dessus une liste de métaboles autodualesexecice : complétez la