dessiner des amasmétamorphoses

pour réaliser une métamorphose d'état d’état d'un nœud, soit nous faisons glisser un arc sur une partie de l'état d'un nœud, soit nous basculons un motif de métamorphose.

métamorphoses régulières et irrégulières

la métamorphose d'état est dite régulière lorsqu'elle ne modifie pas le nombre de croisement d'un état d'un nœud à l'autre, elle est dite irrégulière, lorsque le nombre de croisement est modifié. aucun glissement de rond autour de la sphère ne permet de transformer ces présentations l'une en l'autre, et leurs paires de graphe paré ne sont pas superposables.

poinçons et motifs

le poinçon est un outil qui permet d’isoler un motif de métamorphose ou quelque partie d'un état d'un nœud. c’est une portion du graphe d'adjacence du nœud. un poinçon est un quadrilatère souple constitué d'un nombre pair de sommet d'un graphe et d'arête d'un graphe. il y a autant de sommet d'un graphe que d'arête d'un graphe. dans la pratique, si nous dessinons un tel poinçon dans son état nœudien il suit naturellement les courbes de l'état d'un nœud; c'est ensuite que nous lui donnons la forme "rigide" d'un polygone aux fins de monstrations, comparaisons, explications, etc.. ce changement de présentation n'altère en rien l'information nœudienne qu'il contient.

motifs élémentaires

une lunule est une torsade double, une ganse est une torsade triple. ces deux motif de métamorphose sont "mono-ornés" : soit$\omega \omega$soit$\acute{\omega} \acute{\omega}$; une épingle est le motif de métamorphose formé par une portion de brin commune à deux croisement consécutifs; elle peut être non alternée, en ce cas elle est bi-ornée$\omega \acute{\omega}$, ou alternée$\omega \omega$ou$\acute{\omega} \acute{\omega}$. dans nos dessins ci-dessus, les éléments de graphe, associés aux motif de métamorphose exhibés dans leurs poinçon, montrent : pour la lunule, une lunule faisceau, arête d'un graphe ayant mêmes sommet d'un graphe, lien de connexité "vide", puis une lunule ribambelle, arête d'un graphe ayant un seul {{sommet}} commun, lien de connexité "plein"; pour la ganse, un faisceau, lien de connexité "plein" et une ribambelle formant un "Z" ou un "N", lien de connexité "vide". les épingle forment toujours un "V".

motifs de métamorphoses

il y a trois motif de métamorphose usuels de métamorphose d'état régulières qui sont détaillés dans les séquences suivantes : la permutation, le — du coin et le — des agrafes.

la permutation

la permutation s'inscrit dans un poinçon quadrilatère. elle est composée de deux torsade : une torsade double, la lunule, et une torsade simple, l'autocroisement. c'est une métamorphose d'état simple par bascule qui se substitue à une série compliquée de glissements que nous illustrons par un exemple :

selon notre mode simplifié qui condense une série d'opérations glissantes en une basculante, elle s'effectue par décroisement de l'autocroisement qui disparaît pour laisser place à une torsade nulle, et réapparaît de l'autre côté de la lunule un autocroisement en place de la torsade nulle. une bascule remplace plusieurs glissements. nous montrons, de manière condensée, à partir de deux état d'un nœud mutuellement métamorphosables par la permutation comment s'effectue la transformation.

1. deux état d'un nœud mutuellement métamorphosables par permutation sont dessinés avec leur graphe d'adjacence. de ce fait nos dessins sont lisibles selon les deux orientations : à partir de l'état d'un nœud du haut gauche "de gauche à droite, de haut en bas" et à partir de l'état d'un nœud du bas gauche "de gauche à droite, de bas en haut".
2. on "extrait" de chaque état d'un nœud le motif de métamorphose de métamorphose d'état, la permutation, dont le poinçon est normalisé afin de montrer facilement la métamorphose d'état mutuelle.
3. au centre le bâti commun aux deux état d'un nœud; le poinçon vide peut recueillir chaque état d'un nœud de la permutation constituant l'un ou l'autre état d'un nœud du nœud.

le retournement du coin

le — du coin s'inscrit dans un poinçon hexagonal. c'est une maille à trois croisement, où une ornure est différente des deux autres. nos dessins ont même lecture que ci-dessus mais le motif de métamorphose de retournement semble ici "extérieur" au graphe, il n'en n'est rien car il n'y a ici ni "intérieur" ni "extérieur". les six "pattes" du motif de métamorphose sont accrochées aux six arête d'un graphe de son poinçon. comme énoncé plus haut, nous donnons au poinçon, pour le temps de la monstration, une forme hexagonale "rigide".

ce motif de métamorphose contient deux épingle retournante non alternées conjuguées, celle du Dessus et celle du dessous. la métamorphose d'état s'effectue par le glissement d'une épingle retournante jusqu'à l'autre côté du croisement, retournable donc, qui lui fait face. nous verrons plus loin #la relation triangle-étoile yang baxter une description complète de cette métamorphose d'état et son usage en direction des #...écolières et écoliers.

le retournement de l'agrafe

le — des agrafes s'inscrit dans un poinçon hexagonal. c'est une maille à quatre croisement que l'on peut décomposer en une lunule alternée et une épingle non alternée, l'épingle retournante.

le retournement par l'épingle

ces schémas généralisent les motif de métamorphose ci-dessus : un croisement dans le poinçon carré donne le coin retournable, une lunule donne l'agrafe retournable. le retournement est représenté par un poinçon hexagonal "extérieur" et un poinçon carré "intérieur", tous deux valués connectivement et reliés d'un côté (haut) par une torsade nulle, c'est-à-dire ne comportant aucun croisement, et de l'autre (bas) par un motif de métamorphose à deux croisement et quatre "pattes", l'"épingle" non alternée. la métamorphose d'état consiste en le glissement de cette portion de brin à deux croisement non alternés, que nous nommons relativement à la métamorphose d'état considérée épingle retournante, de part et d'autre du poinçon carré. notez qu'à ce moment la valuation du grand poinçon reste invariante alors que celle du petit poinçon commute ce qui signifie que tout son contenu change de lien de connexité. avec beaucoup de doigté dans le dessin, il est possible d'"inverser", pour le regard tout au moins, les positions relatives des deux poinçon et d'échanger ainsi leurs rôles : le grand poinçon devient "intérieur" et le petit "extérieur". cette inversion des opérateurs nous la nommons renversement, et l'épingle de retournante devient renversante. métamorphose d'état qui peut se décomposer en une lunule alternée et une épingle non alternée, l'épingle retournante s'effectue tout comme le retournement. de même notez la commutation des liens de connexité.

la relativité des métamorphose d'état consiste ici en l'inversion des caractéristiques des motif de métamorphose l'un par rapport à l'autre tout en gardant invariants leurs rapports réciproques.