initiation à la plastique nœudienneportance

le dessin d'un nœud est composé d’arcs définis par leur portée p. un arc est la portion de brin comprise entre deux dessous.

rappelons que lorsqu'on dessine un croisement, le brin de dessous est fictivement scindé. un arc de portée 0 ne passe au-dessus d’aucun brin, un arc de portée 2 passe au-dessus de deux brins, un arc de portée 1 passe au-dessus d'un brin, ainsi de suite : un arc de portée p passe au-dessus de p brins.

portance

nous appelons portance P l'ensemble des portées des arcs constituant un état nœudien et nous l'écrivons sous forme d'un mot circulaire, à partir d'un arc choisi arbitrairement comme origine, en suivant le brin de façon continue tout le long d'un trajet qui nous ramène à l'arc de départ et en notant au fur et à mesure la portée des arcs successifs rencontrés. il est plus pratique d'arranger ensuite le "mot" selon l'ordre lexicographique, par exemple en partant de l'arc de plus petite portée et en suivant le trajet qui minimalise les portées, car ce peut être un premier élément de distinction de deux états nœudiens puisque deux nœud premier ayant même morphologie et ne possédant pas le même mot-portance sont certainement différents. (voir § #réalternances et couplages).

lorsque tous les arcs sont de portée 1, alors le nœud est dit alterné car en suivant le parcours d’un rond, nous passons alternativement du dessous au-dessus à chaque croisement. sa portance s'écrit $P = 11...1...11$, mot circulaire comportant autant de 1 que l'état nœudien comporte d'arcs, soit le même nombre que celui des croisements : C. ces états de nœuds ne nous intéressent pas car ils sont statiques, c'est-à-dire non métamorphosables, pour la plupart. en général, ils ne présentent qu'un seul état. les seules métamorphoses pouvant être présentes dans un nœud alterné sont les permutations. celles-ci sont d'ailleurs souvent ratées car elles redonnent le même état nœudien vu un peu différent. voir la section pliage d'un état. sans motif de métamorphose l'état est dit statique : il ne connaît pas d'état antérieur dont il serait le métamorphosé, ni d'état postérieur qui serait son métamorphosé ce qui revient au même, les métamorphoses étant involutives. les nœuds statiques collent à tel point à leur état que cette notion serait superflue s'il ne s'agissait que d'eux. le recours à la notion d'état n'a de sens et de valeur que pour les nœuds non statiques, les nœuds métamorphosables.

la portance de l'état nœudien dessiné ci-dessus, état nœudien à un rond et 10 croisement est notée, à partir de l'arc 0 désigné dans le dessin et dans le sens antihoraire : $P = 0112102021$ (voir plus loin #amas).

il est d'ailleurs loisible de considérer de ce point de vue la portance comme un système de numération qui associerait à chaque état d'un nœud son codage de gödel , que nous appelons ampleur, minimal (c'est-à-dire lu dans l'ordre lexicographique minimal) tel que la base soit définie par p_m (voir le § réductibilité). ainsi la portance ici écrite a comme ampleur en base 2 :
$0\times 512+1\times 256+1\times 128+2\times 64+1\times 32+0\times 16+2\times 8+0\times 4+2\times 2+1=256+128+128+32+16+4+1=565$.
remarque . le choix de la "base" est, ici, tout à fait artificiel; ce choix est motivé par le fait que nous ne désirons pas obtenir des valeurs extravagantes. de plus, manifestement, nous n'écrivons pas en base 2, simplement nous exploitons les puissances de cette base que nous multiplions par les coefficients des portance (partant de l'idée que dans un système de numération un nombre s'écrit de manière univoque) sous la contrainte de n'utiliser que les coefficients minimaux (ceci afin d'éviter la kyrielle de sommants), et le choix de la base 2, comme écriture symbolique (même avec des coefficients supérieurs à 1) permet de normaliser toutes les ampleurs; l'ampleur d'un état d'un nœud permet donc de minimiser l'ambiguïté de réattribution des arc et de leurs portées. mais nous verrons plus tard une "liasse" d'autres nombres (binaires ceux-là) associés en triplets (ornure, parure, tournure) aux états nœudiens : leurs mots-codes.