dessiner des amasformule particulaire

formule particulaire

la formule particulaire permet de représenter les motifs de métamorphose d'un état métamorphosable, à la façon des chimistes.

à partir du graphe orné, nous assignons une lettre à chaque type de motif métamorphosable, en tenant compte de plus du fait qu'un motif de métamorphose peut apparaître sur le graphe comme motif sommet, en indice "s", ou motif face, en indice "f" :

• k pour le coin : k_s et k_f
• a pour l'agrafe : a_s et a_f
• p pour la permutation : p_s et p_f etc...

la formule particulaire est une formule "chimique" de superposition des motifs de métamorphoses, "superposition" étant entendu ici à la "schrödinger" : deux motifs s'inhibent l'un l'autre s'ils ont des croisements communs, au moins un.
la formule particulaire représentera ces arêtes communes aux différents motifs par autant de traits reliant les motifs qu'ils ont d'arêtes en commun. on peut la représenter aussi sous forme d'une matrice d'incidence.
il y a indétermination de la métamorphose active et donc juxtaposition des deux états. en pratique, on dessinera arbitrairement un état puis l'autre (dessins????).
sur les graphes de connexités ornés cela se montrera par des arêtes communes. chacun des motifs représentant un montage topologique bâti + motif spécifique. deux états ne s'inhibant pas, sont dits simplement additifs : les métamorphoses peuvent s'effectuer simultanément.

appliquons ce que nous venons de dire à nos schémas ci-dessus : nous tirons du dessin de l'état un graphe de connexité orné. puisque le graphe de connexité est une image exacte de l'état, les arêtes du graphe représentent les croisements de l'état avec leurs ornures, les sommets et les faces représentent les zones flexibles de l'état. les motifs de métamorphoses sont donc intégralement représentés dans le graphe. dans l'exemple, il y a quatre motifs, tous des retournements de coins, trois coins retournables sommets et un coin retournable face. les trois coins retournables "sommets" sont désignés par les symboles k_s1, k_s2 et k_s3, le coin "face" est désigné par k_f. la formule particulaire montre donc, d'un seul coup d'oeil, la simultanéité ou non des métamorphoses : k_s1, k_s2 et k_f sont chacun inhibant pour les deux autres, c'est la loi du OU EXCLUSIF : OU k_s1 SEUL OU k_s2 SEUL OU k_f SEUL accompagné éventuellement ("additif") par k_s3. cette "grappe" de trois motifs est additive avec le motif k_s3; en effet, ce motif peut s'effectuer simultanément avec un seul quelconque des trois autres. quatre motifs, trois possibilités seulement d'effectuation de deux motifs ensemble. voir #chemins dans l'amas.

la superposition des motifs entraîne de plus la non commutativité des métamorphoses; en effet, lorsqu'une métamorphose d'une telle "grappe" est effectuée, le reste des métamorphoses de la "grappe" est "perdu". la "succession" de motifs nœudiens superposés n'a aucun sens car ne possédant aucune réalité "physique"; la non commutativité est donc effet de la superposition.
soient les deux métamorphoses superposées m1 et m2, si l'on veut effectuer m2 après m1 il faut involuer m1 pour réobtenir l'état de départ puis effectuer m2; m1 ayant été effectuée m2 a été "perdue", de l'état obtenu après métamorphose m1 il faut effectuer m1~ ce qui nous ramène à l'état de départ et effectuer finalement m2. on peut écrire la succession des événements ainsi : ηinitial, m1 OU m2, si m1, m1(ηinitial) = η1 puis m1~(η1) = ηinitial puis m2(ηinitial) = η2. voici une monstration simple du fait (dessins)
exercice: choisissez un état de nœud non alterné, repérez ses motifs de métamophoses, puis dessinez les états obtenus.

filmer les métamorphoses

nous décomposons, image par image, le retournement du coin.

à partir d'un graphe de connexité complet, nous détachons le motif de métamorphose, le coin retournable k , de son bâti spécifique b_k. à ce stade, nous pouvons donc écrire η = b_k + k (voir plus haut : i : dessiner un amas..., – (5°)). la suite des opérations s'effectue ainsi :
nous séparons b_k et k ; le bâti b_k est invariant par retournement, nous effectuons le retournement du coin ce qui nous fournit k~ que nous raccrochons au bâti b_k , opération qui nous fournit η~ = b_k + k~ , où "+" est la soudure topologique. le déroulement des opérations se schématise donc ainsi :
$\eta = b_k + k , (2) \eta - k = b_k , (3) ret(k) = k^\sim , (4) k^\sim + b_k = \eta^\sim.$
nous pouvons encore symboliser cette suite opératoire, en utilisant le différentiel $\delta k^\sim,k = k^\sim - k : \eta^\sim = \eta + \delta k^\sim,k$ .
le différentiel étant relatif à la métamorphose d'état, n'est pas commutable : δk~,k "vu" de l'état η est différent de δk,k~ "vu" de η~. nous étudions cela plus en détail dans "transitions nœudiennes".