initiation à la plastique nœudienneréductibilité

la réductibilité d’un état d'un nœud est la première recherche à effectuer sur un état d'un nœud de nœud. un état d'un nœud est réductible s’il peut perdre un croisement ou plus à la suite d’un mouvement de brin. l’état d'un nœud est état réduit lorsqu’il ne peut plus perdre de croisement.

une réduction peut être patente, ou latente : elle ne deviendra patente qu’après une suite de métamorphoses d'état. un signe infaillible de réductibilité est la présence d’un arc de portée trop longue ou d'une suite trop longue d'arc consécutifs de $\text{portée}_0$, comme nous l'indique la remarque ci-après.
on remarquera, dans un état d'un nœud non alterné, la corrélation entre les arc de $\text{portée}_{\ge 2}$ et les suites d'arc consécutifs de $\text{portée}_0$ : à chaque arc de $\text{portée}_2$, il correspond un arc de $\text{portée}_0$. il y a donc autant d'arc de $\text{portée}_2$ que d'arc de $\text{portée}_0$ dans un état d'un nœud non alterné quelconque. en effet, un arc de $\text{portée}_0$ est un arc de $\text{portée}_2$ vu de l'autre côté, et réciproquement. une suite de deux arc consécutifs de $\text{portée}_0$ correspond à un arc de $\text{portée}_3$ vu aussi de l'autre côté, et réciproquement aussi, comme le montrent les dessins ci-dessous, etc..

nous disons qu'il y a un équilibre congruent entre arc de $\text{portée}_{p \ge 2}$ et suites de $(p - 1)$ arc de $\text{portée}_0$ ; celles-ci sont en miroir à leurs arc, ce que les antiparticules sont à leurs particules. ce que nous dessinons, comme un processus d'annihilation dans nos dessins, les valeurs x et y sont les valeurs des portée résultant de l'annihilation des arcs-longs et de leurs antiarcs.

1. ligne supérieure des dessins : l'arc de $\text{portée}_2$ et son antiarc de $\text{portée}_0$ forment une lunule non alternée et donc annulable, ce qui se traduit par une torsade localement torsade nulle. le comptage des portée pour ce motif de métamorphose s'effectue comme suit : en b et b' les portée non visibles, avant annihilation, sont respectivement b et b' . la portance de la portion de brin bb vaut donc, avant annihilation,$p_{bb'} = b + 0 + b' = b + b' = x'$. la portée de l'arc-long aa, avant annihilation, vaut $p_2 = 2$. après — annulable de la lunule, cette {{portee}} passe à 0. au total, avant annihilation nous avions $P_{init} = 2 + b + b' = 2 + x'$, et après l'— annulable de la lunule, nous obtenons $P_{fin} = b + b' = p_{bb'} = x'$
2. ligne inférieure des dessins : l'{{arc}} de $\text{portée}_3$ et son antiarc forment de même une {{lunule}} non alternée indirecte, celle-ci, car traversée par une portion de {{brin}} étrangère à la {{lunule}} et donc aussi {{annulable}}. pour ce {{motif}} à l'arc-long de $\text{portée}_3$, le calcul donne : avant annihilation $P_{bb'} = b + 0 + 0 + b' = b + b'$, que nous notons $x + y$, et donc $P_{init} = 3 + x + y$. après l'— annulable de la lunule, la {{portee}} de l'arc-long passe de 3 à 1 ce qui donne $P_{fin} = b + b' + 1 = x + y + 1$. l'état nœudien perd donc dans tous les cas deux croisement et sa portance diminue d'autant.

mais allons un peu plus loin, et reprenons l'exemple de la portance de l'état d'un nœud à un rond et 10 croisement ci-contre : $P = 0112102021$- cette portance se décrit ainsi, à condition de ne pas tenir compte de l'ordre dans lequel se suivent les arcs : 3 arcs de $\text{portée}_2$, 4 arcs de $\text{portée}_1$ et 3 arcs de $\text{portée}_0$.
nous pourrions désigner cette portance par une formule des portées succincte qui ferait apparaître la quantité d'arcs de $\text{portée}_m$, sorte de polynôme des portées

$\dot{p}^2 = 3p^2 + 4p + 3$, l'indice de $\dot{p}$ indiquant la {{portee}} maximum, ou plus simplement $\dot{p}^2 = \{3^243\}$ voire même $\dot{p}^2 = \{3^24\}$ puisqu'il n'y a aucune ambiguïté, le nombre d'arc de $\text{portée}_0$ étant automatiquement égal au nombre d'arc de $\text{portée}_2$ seulement il faut s'en souvenir!. de façon plus générale, on peut assigner à chaque état d'un nœud son polynôme des portance : $\dot{p}_m = a_1p_m + a_2p_{m-1} + \dots + a_mp + a_1p_0$ ($a_{m+1}$ valant en effet $a_1$) ou son ensemble des coefficients $\dot{p}_m = a_1a_2 \dots a_m$, le coefficient des arc 0 étant sous-entendu car toujours égal à a1 et la somme des coefficients égale au nombre d'arc égal au nombre de croisement de l'état d'un nœud : $\sum a_i = C$. en tout état de cause portance P et polynôme des portée Pp ne sont pas strictement équivalents puisque la portance indique dans quel ordre se succèdent les arc ce qui n'est évidemment pas le cas du polynôme.

la formule des portées

p154 du livre #pnr, nous trouvons le tableau qui permet de lire le résultat suivant : il n'y a pas d'état réduit de nœud à R rond présentant un arc de portée p ayant moins de C croisement. la portée maximum d’un arc notée $p_m$, est donnée par la formule des portées :
- quand $R \le p + 1$, alors $C \ge 5 \times p_m - R - 1$
- lorsque $R \ge p + 1$, la formule des portées est $C \ge 2(p_m + R - 2)$.
voir la séquence complète d'élaboration de la formule des portées dans #pnr -- arc, rond, croisement -- pp 140 à 154

les deux formule des portées sont équivalentes pour la série générique diagonale de nœud réduit avec $R = p + 1$, et les deux formule des portées deviennent $C \ge 4p - 2$, soit la série générique de raison arithmétique 4, pour p = 1 à l'∞ : C = 2 (le simple "enlacement" à 2 rond, seul de son espèce), 6 (tous les 3 rond, borroméen, maja, etc.), 10 (à 4 rond), 14 (à 5 rond), etc. voir le livre pnr et ci-après générer les nœud /commentaires succincts . le plus petit nœud, en nombre de croisement, est l' enlacement à 2 rond et 2 croisement; la formule des portées donne $p_m = 1$, soit : $2 \ge 5 \times 1 - 2 - 1$
le plus petit nœud en nombre de rond est le trèfle à un {{rond}} et 3 croisement; la formule des portées donne $p_m = 1$ soit : $3 \ge 5 \times 1 - 1 - 1$
le plus petit nœud à un rond ayant un arc de portée 2 est un nœud à 8 croisement : $8 \ge 5 \times 2 - 1 - 1$. etc...