dessiner des amasombres

la projection d'un état d'un nœud sur un plan donne son ombre; tous les croisement apparaissent comme des points doubles, sans la troisième dimension, on peut donc l'assimiler à un graphe dont tous les sommet d'un graphe sont des points doubles

on peut considérer l'ombre comme une classe d'équivalence de tous les état d'un nœud ayant même morphologie apparente aux petites déformations de brin près, c'est-à-dire qui ne créent ni n'annulent de croisement.
de plus, il est ultra facile, à partir de l'ombre, de dessiner un nœud trivial : il suffit de dessiner les croisement alternés. ce nœud trivial peut, lui aussi, être considéré comme classe d'équivalence de tous les état d'un nœud ayant la même ombre, y compris lui-même. ce nœud trivial est le premier dont nous sommes assuré.e.s qu'il tienne et est état réduit, donc premier. deux nœud trivial différents ne peuvent avoir la même ombre, de quelque manière qu'on s'y prenne; ce fait permet d'éviter les doublons dans les tables habituelles de {{noeuds}} lorsque nous sont présentés les nœud. distincts, nous pouvons donc les compter car chacun vaut un. quels que soient le nombre de rond qui les composent et leurs nombres de croisement, ces nombres sont toujours finis. dire "un nœud à un nombre infini de rond et de croisement" est une litote, mais cet infini est pensable et dicible; de ce point de vue, les {{noeuds}} sont porteurs de deux ensembles numériques infinis couplés, c'est-à-dire de deux séries arithmétiques simultanées infinies : la série des rond et celle des croisement. ce fait les apparente à d'autres éléments qui s'offrent spontanément à la "binarité", par exemple les nombres complexes, opérateurs à deux "dimensions", les matrices, etc..

la parure

on peut définir la parure comme une paire de graphe du graphe de connexité, bien qu'un état d'un nœud puisse être mono-paré lorsque le graphe et le graphe se confondent

parement avec les coches alternées

1. considérons un état d'un nœud de {{noeud}} dont les zones sont marquées par les sommet d'un graphe blanc et noir des deux graphe de connexité.
2. nous marquons une quelconque portion de rond, entre deux croisement consécutifs, par une coche simple.
3. puis nous marquons d'une coche double les deux portions d t de cette façon; c'est à dire deux portions de rond qui se touchent en un croisement porte des signes différents.
4. à la fin, chaque croisement est muni de quatre marques, deux coches simples et deux coches doubles. parmi les quatres quadrants, deux, connexes entre eux, portent les deux signes opposés : ce sont les quadrants mixtes.
5. nous traçons une arête d'un graphe par croisement de telle sorte qu'elle traverse les quadrants mixtes et joigne les sommet d'un graphe qui marquent les zones auxquelles ils appartiennent.

parure d'un nœud à deux rond

il y a deux possibilités de parement pour un nœud à deux rond, ce qui donne deux paires de parure.
notez qu'entre les paires de parure, il s'effectue un quart de tour, on peut ainsi obtenir l'une à partir de l'autre

lorsqu’il y a plusieurs rond, il y a théoriquement différentes {{parures}} possibles : pour “R” rond il y a $2^{R - 1}$ parure du fait de la combinatoire des orientations des rond, ce qui entraîne aussi qu’il y a plusieurs manières de dessiner une même parure.
pourquoi “théoriquement”? parce que pratiquement certaines parure s’identifient du fait des symétries existantes. le nombre p des parure est donc mieux rendu par : $p \le 2^{R - 1}$. en fait, même pour les nœud à plusieurs rond, les parure sont des cycles dans l’ombre, ce sont même des paramètres invariables de l’ombre, ce qui signifie qu’ils sont attachés à la morphologie des nœud. (voir § présentation en présentation en tresse). les $2^{2-1} = 2$ parure pour deux rond, les $2^{3-1} = 4$ parure pour trois rond etc..

lecture de l'orientation

1. nous orientons les rond d'un état d'un nœud de {{noeud}} en reproduisant la même flêche sur toutes les portions d'un même rond.
2. le quadrant fermant est celui où les deux flêches divergent à partir du lieu de croisement.
3. nous dessinons une arête d'un graphe par croisement de telle sorte qu'elle traverse les quadrants ouvrant et fermant et joigne les sommet d'un graphe des zones connexes auxquelles ils appartiennent

cette maniére de produire les arête d'un graphe de parure donne le même résultat que le cochage des portions de rond

la parure sur l'état d'un nœud et le graphe

il y a deux parure, la faufilante p, que nous colorons généralement en bleu, et la sinuante p', que nous colorons généralement en rouge ou que nous ne colorons pas;
sur le graphe leur distinction apparaît ainsi : la faufilante "coupe" les arête d'un graphe et traverse les zone d'un état du graphe, la sinuante suit les arête d'un graphe qu'elle pare, elle se confond donc avec elles. une parure peut être constituée de plusieurs tenants qui sont nécessairement séparés par l'autre parure.

un état d'un nœud peut être monoparé, c'est-à-dire qu'il ne possède qu'une seule parure et tous ses croisement y participent, il peut aussi n'être aucunement paré. les dessins de l'état d'un nœud et de son graphe sont accompagnés de la table d'état.

métaboles et métabolites

nous avons dit plus haut que tous les état d'un nœud d'un amas sont parfaitement distincts. cela ne signifie pourtant pas que leurs ombre soient parfaitement distinctes, y compris les nœud trivial qui leur sont attachés. de ce point de vue, bien que les état d'un nœud en tant que tels soient distincts, il se peut que deux état d'un nœud aient même ombre.
nous appelons métabole l'ensemble constitué d'une ombre, du nœud trivial correspondant et de tous les état réduit ayant cette ombre et ce nœud trivial comme classes d'équivalences, quelles que soient leurs portance. ces état d'un nœud sont les métabolite du métabole. l'ombre et son nœud trivial forment la racine du métabole. un amas peut donc offrir moins de {{metaboles}} qu'il ne comporte d'état d'un nœud.
dans nos dessins ci-dessous,
(a) est l'ombre d'un métabole à 8 croisement,
(b) est le nœud trivial et eux deux forment la racine du métabole dont deux métabolite sont dessinés
(c) et (d) appartenant à deux amas différents de deux nœud premier différents. (exercice : trouvez lesquels).

nous avons vu aussi que la parure est un paramètre de l'ombre, ce qui signifie qu'en tant que paramètre morphologique associé à la racine du métabole il est nécessairement le paramètre commun à tous les métabolite du même métabole. associées à la portance qui recueille les ornure sur l'état d'un nœud, parure commune et ornure différenciées génèrent la tournure singulière de chaque métabolite. pour un métabole donné, la parure de tous les métabolite est absolument identique pendant que les ornure peuvent varier et donc les tournure. dans certains cas les {{portances}}, ordinairement différentes, peuvent être identiques (voir plus haut l'amas du $8_{20}$).
pour tous les état d'un nœud d'un amas, la différence de tournure est identique. un amas offre donc des métabolite parfaitement distincts, ce qui signifie qu'il "s'arrime" simultanément à autant de {{metaboles}} qu'il possède d'état d'un nœud, les métamorphose d'état faisant passer d'un métabole à l'autre. l'amas apparaît donc aussi comme un "filet" arrimé à plusieurs "piles" qui supportent plusieurs filets (au moins un) "empilés" les uns sur les autres. tout cela, "filets" et "piles", dessine la trame d'un espace dynamique, mouvant, à la fois élémentaire et complexe, au gré des nuée.

nous présentons trois amas de trois nœud $8_{19}$, $8_{20}$ et $8_{21}$, répartis selon leurs sept métabole, chaque colonne représentant un {{metabole}}, sans sa racine complète à savoir sans l'ombre mais avec le nœud trivial correspondant. nous faisons confiance à l'oeil de la lectrice et du lecteur pour reconnaître les morphologies.

(exercice : dessinez et retrouvez dans une nœud usuelle les sept nœud trivial correspondant à nos sept métabole, et, pourquoi pas, dessinez leurs racines complètes). le nœud dont le numéro est entre parenthèses est présenté sous forme dual (par changement de présentation) dans les tables de nœud habituelles. les deux $8_{15}$ et $8_{15^\sim}$ sont deux état d'un nœud mutuellement métamorphosables, par la permutation, du même nœud.

observations portant sur les torsade.
les deux {{etats}} du [$8_{18}$] ne possèdent aucune torsade multiple, nous les appelons état resserré. à l'inverse, les deux état d'un nœud du [$8_{5}$] ne comportent que des torsade multiple, deux torsade triples et une {{torsade}} double; pour cela nous les appelons état resserré. nous décrivons ainsi les état d'un nœud en fonction de leurs compositions en torsade :
soit t pour les triples, d pour les doubles et s pour les simples, les croisement isolés; alors chaque état d'un nœud est décrit par un mot-torsade tds dans lequel chaque lettre représente le nombre de torsade correspondantes.
nous obtenons la liste suivante, que nous nommons du nœud trivial représentant entre crochets [8k], depuis l'état d'un nœud ne possédant aucune {{torsade_multiple}} jusqu'à ceux ne possédant que des torsade multiple. (on retrouve le comptage des croisement en écrivant l'addition : at + bd + cs = 3a + 2b + c = C le nombre total de croisement de l'état d'un nœud, où les a, b et c représentent le nombre de torsade) :
$[8_{18}] = 008, [8_{17}] = [8_{16}] = 024, [8_{15}] = [8_{15^\sim}] = 032, [8_{10}] = 121$ et $[8_5] = 210$
– si nous voulons ordonner cette liste relativement au serrage et si nous prenons comme symbole le signe "<", "x < y" signifiant "x est moins serré que y" , la liste s'écrit : $[8_{18}] < [8_{17}], [8_{16}] < [8_{15}] < [8_{10}] < [8_{5}]$ ordre qui retrouve implicitement le calcul des nœud comme chez conway par exemple. on peut, sans trop déroger au raisonnement scientifique, imaginer la fiction suggestive selon laquelle plus un état d'un nœud est resserré et plus il est "rigide" et offre plus d'"énergie potentielle". à l'inverse un état d'un nœud très desserré semble plus flexible et offre moins d'énergie, il serait ainsi plus "mou".

morphologie, métabole et tables des nœud

il est possible de décrire un amas par la portance des état d'un nœud qui le constituent et donc de comparer des amas entre eux. la projection métabolique est un moyen simple et immédiat de comparer des amas comme le montre le dessin des métabole ci-dessus.
mais une comparaison plus instructive entre amas porte sur des amas à même nombre d'état d'un nœud dont les état d'un nœud ont mêmes nombres de rond et de croisement. la portance d'un état d'un nœud est le mot numérique circulaire qui décrit la portée des arc dans l'ordre de succession (voir § réductibilité), c'est-à-dire de lecture, des arc le long de l'état d'un nœud en partant d'un {{arc}} de portée minimum jusqu'à l'{{arc}} de portée maximum. en pratique on s'arrange pour écrire ce mot en respectant l'ordre lexicographique; quelquefois on trouve un état d'un nœud pour lequel la portance admet soit deux arc de portée 0 comme départs possibles du mot, soit les deux orientations opposées de lecture à partir d'un même {{arc}}. deux état d'un nœud de même métabole ayant des portance différentes sont distincts.

récapitulation : métabole versus amas

• 1 — un amas est constitué de différents état d'un nœud tous métamorphosables les uns en les autres par des métamorphose d'état régulières (qui ne changent pas le nombre de croisement) directement ou indirectement.
• 2 — tous les état d'un nœud (ou presque tous) du même amas ont une ombre, et donc la parure qui s'en construit, différente(s). il n'y a pas d'ombre, et donc pas de parure, de l'amas.
• 3 — ornure et parure variantes dans l'amas se combinent pour former la différence de tournure invariante de l'amas.
• 4 — un amas s' arrime à autant de métabole qu'il contient d'état d'un nœud d'ombre différentes, c'est-à-dire de projections distinctes.
• 5 — une ombre et sa parure sont communes à tous les métabolite de leur métabole; elles forment, avec le nœud trivial qui s'en dessine, la racine du métabole.
• 6 — le nœud trivial qui leur correspond est commun à tous les métabolite du même métabole dont il est le premier et alternance.
• 7 — la tournure n'est pas un invariant métabolique.
• 8 — les métabolite d'un même métabole s'obtiennent les uns des autres par réalternance qui est, ici, une forme, un opérateur de l' homotonie.

comptage des nœud

1. α- le point 6 ci-dessus indique que tous les nœud, ne recelant aucun motif de métamorphose de métamorphose d'état basculant (comme la permutation, par exemple) à même nombre C de croisement et même nombre R de rond sont nécessairement distincts. les {{metamorphoses}} basculantes sont les seules qui peuvent transformer un état d'un nœud en un autre alternance n'ayant pas même morphologie, et donc appartenant à un autre métabole.
   les deux congénères, qui pourraient apparaître comme deux nœud premier différents, ne seraient en fait que deux {{etats}} différents d'un même nœud dont il ne faudrait choisir de dessiner qu'un seul (en indiquant éventuellement l'autre). ces deux {{etats}} verraient leurs paires de graphe de connexité duaux différentes, et seraient donc bien, en conséquence, deux {{etats}} distincts du même nœud; ces deux {{etats}} composent l'amas unique du nœud considéré, amas qui s'arrime donc à deux métabole. cependant certaines permutation "ratent" c'est-à-dire qu'elles ne font que changer la présentation de l'état d'un nœud, en ce cas les paires de graphe dual sont les mêmes; l'amas du nœud n'est composé que d'un seul état d'un nœud; dessiner une présentation de l'état d'un nœud suffit.
2. β- soit une liste complète de nœud à C {{croisements}} et R {{ronds}} telle qu'elle peut être dessinée dans une {{table_noeuds}} usuelle; elle comporte N nœud que nous noterons $N(C,R)$ : il s'y trouve a état d'un nœud et b état d'un nœud, $N = a + b$.
   nous admettrons que cette liste est sans erreur, c'est-à-dire que tous les nœud $N(C,R)$ y sont distincts et qu'ils y sont tous. les a renferment les nœud trivial (à un seul état d'un nœud) qui sont donc représentés par eux-mêmes, que nous noterons a , il y en a t, et les t nœud trivial (donc à plusieurs état d'un nœud) représentés par un seul de leurs état d'un nœud, que nous noterons a , il y en a m. $N = (t + m) + b$. comme nous savons que deux état d'un nœud sont de deux métabole, il y a donc t métabole.
   les a appartiennent pour la même raison à m métabole, mais ils possèdent de plus u état d'un nœud (non m dessinés); alors ces u état d'un nœud participent éventuellement à u' métabole avec u' ≤ u. nous avons donc, pour les a, m + u' m métabole, soit $\text{mét}(N) = [t + (m + u')] + b$ {{metaboles}}, avec $\text{mét}(N) > N$ ou $\text{mét}(N) = N + u'$.
   nous raisonnons pareillement pour les b nœud métamorphosable; $\text{mét}(b) = b + b'$.
   à ce stade, on peut donc écrire : $\text{mét}(N) = \text{mét}(a) + \text{mét}(b) = [t + (m + u')] + (b + b')$,
   où $\text{mét}(N) = N + u' + b'$
3. γ- parmi les a nœud trivial, certains peuvent être réalternance, c'est-à-dire qu'il est possible d'effectuer sur eux des inversion de Dessus-dessous, voir aussi idd. nous verrons plus loin un tel algorithme de réalternance (voir section#réalternances et couplages).
   à l'inverse, les état d'un nœud ont tous une "projection" triviale et cette "projection" se trouve nécessairement déjà comptée dans la liste alternée, sinon cela signifierait que cette liste est incomplète, de même que les nœud trivial réalternance se trouvent eux aussi nécessairement dans les amas des nœud métamorphosable pour les mêmes raisons.
   ce qui fait que le nombre des nœud $N(C,R)$ est nécessairement égal au nombre de tous les métabole des nœud, ce nombre est $\text{mét}(b) = b + b'$ , auxquels s'ajoutent tous les état d'un nœud non réalternance, nombre que nous notons a–.
   $N(C,R) = a- + \text{mét}(b)$.

voyons ce que cela donne pour les vingt-et-uns $N(8,1)$ avec la table des sept métabole dessinée ci-dessus :
1° -- il y a dix-huit nœud trivial, de $8_1$ à $8_{18}$ et trois nœud, de $8_{19}$ à $8_{21}$.
2° -- parmi ces dix-huit nœud trivial douze sont nœud métamorphosable car ils possèdent au moins une permutation, huit à une et quatre à deux (exercice : trouvez lesquels).
3° -- nous avons vu que six d'entre les nœud trivial sont réalternance (exercice : trouvez lesquels). cela signifie que les métabolite qui leur correspondent sont des état d'un nœud qui parcourent les amas des trois nœud $8_{19}$, $8_{20}$ $8_{21}$. dans ce cas nous avons : b = 3, $\text{mét}(b)$ = 6 et a = 12.